ในยุคคอมพิวเตอร์ทุกวันนี้ ความหมายของการค้นพบ
ในตรรกะที่เป็นทางการซึ่งนิวแมนและนาเกลพูดชัดแจ้งในปี 1958 นั้นมีความสนใจในวงกว้างมากยิ่งขึ้นไปอีก แอนดรูว์ ฮอดเจสกล่าว
หลักฐานของโกเดล
เออร์เนสต์ นาเกล &James R. Newman
สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยนิวยอร์ก: 2501 118 หน้า
ห้าสิบปีที่แล้วมีหนังสือแปลก ๆ ปรากฏขึ้น Gödel’s Proofชื่อหัวโล้นและไม่ขอโทษต้องทำให้เบราว์เซอร์ทั่วไปสงสัยว่าใครหรืออะไรคือGödel ผู้ที่ถูกล่อลวงให้มองเข้าไปข้างในได้ค้นพบความคลาสสิกของนิทรรศการทางวิทยาศาสตร์และเผชิญกับความท้าทายค่อนข้างมาก เออร์เนสต์ นาเกลและเจมส์ นิวแมน นักเขียนผู้มีชื่อเสียงในด้านปรัชญาและการศึกษาทางวิทยาศาสตร์อยู่แล้ว ได้นำเสนอหัวข้อที่ไม่คุ้นเคยอย่างแน่วแน่ นั่นคือ ตรรกะทางคณิตศาสตร์ เคิร์ต โกเดล นักตรรกวิทยาผู้ยิ่งใหญ่ที่มีการค้นพบครั้งสำคัญในปี 2474 เป็นหัวข้อของหนังสือเล่มนี้ มีชีวิตอยู่อย่างมากในปี 2501 ปรินซ์ตัน แต่เขาไม่ใช่ผู้มีชื่อเสียงหรือผู้มีชื่อเสียงด้านสื่อ การที่ Nagel และ Newman มองว่าความสนใจของสาธารณชนในวงกว้างนั้นทั้งมีวิสัยทัศน์และมองโลกในแง่ดี
ฉันจำได้ว่าค้นพบGödel’s Proofเมื่อเป็นนักเรียนในปี 1968 ฉันไม่สามารถเป็นคนเดียวที่จะพบว่ามันเป็นข้อความที่ไม่ซ้ำกันบนชั้นวางห้องสมุดของวิทยาลัย นำไปสู่ภูมิภาคที่ไม่คาดคิดนอกเหนือจากหลักสูตรมาตรฐาน มันไม่ได้เขียนเหมือนหนังสือเรียน ทั้งไม่ใช่ ‘Gödel ทำได้ง่าย’ แม้ว่าจะหยั่งรากในบทความก่อนหน้าในScientific American, มันใช้สมการมากมาย อันที่จริงมันสำรวจความหมายของสมการซึ่งเป็นความต้องการผู้อ่านที่จะทำให้ผู้จัดพิมพ์ส่วนใหญ่กังวล Nagel และ Newman อธิบายแนวคิดที่ยากลำบากของการอนุมานเชิงตรรกะจากสัจพจน์ที่เป็นทางการ โดยแยกแยะการพิสูจน์ที่เป็นทางการจากการให้เหตุผลแบบไม่เป็นทางการ พวกเขาแสดงให้เห็นความเข้าใจอันลึกซึ้งที่สำคัญของโกเดล: กฎของตรรกะสำหรับการอ้างอิงสัจพจน์ การแทนที่ตัวแปร และการกำหนดสูตรการหักลดหย่อนนั้นเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ และพวกเขาเปิดเผยว่านวัตกรรมทางเทคนิคของเขาใช้ประโยชน์จากการสังเกตนี้อย่างไร โดยใช้ตัวเลขเพื่อเขียนโค้ดข้อความเกี่ยวกับตัวเลข
บัญชีโดยละเอียดของ Nagel และ Newman
แสดงให้เห็นว่า Gödel ถูกนำไปสู่การค้นพบที่น่าอัศจรรย์ของข้อความทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงซึ่งไม่สามารถมีหลักฐานอย่างเป็นทางการได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งGödelได้พิสูจน์ความไม่สมบูรณ์ของคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ พวกเขายังบันทึกความตกใจที่การค้นพบนี้ทำให้เกิดข้อสมมติกระแสหลักโพซิติวิสต์กระแสหลักมาจนถึงตอนนี้ เช่น ข้อสันนิษฐานของเบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ ซึ่งโปรแกรมสำหรับการได้มาซึ่งคณิตศาสตร์จากสัจพจน์เชิงตรรกะอย่างโกเดลมีความขัดแย้งอย่างชัดเจน
เครดิต: NEW YORK UNIV. กด
นัยของการค้นพบของ Gödel คือหากมีสิ่งใดที่น่าสนใจมากกว่าในปัจจุบันมากกว่าในปี 1958 อุตสาหกรรมขนาดใหญ่ได้เกิดขึ้นจากอัลกอริธึมเชิงตรรกะ และในปัจจุบันนี้ เป็นที่ชื่นชมดีกว่าที่ธุรกิจการคำนวณนั้นแยกออกไม่ได้จากแคลคูลัสเชิงตรรกะที่สร้างขึ้นในช่วงอายุยี่สิบต้นๆ ศตวรรษ. อาจมีคนโต้แย้งว่าแนวคิดพื้นฐานของคอมพิวเตอร์ดิจิทัลนั้นเป็นของ Gödel ผ่านทางนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Alan Turing แนวคิดเกี่ยวกับเครื่องจักรอเนกประสงค์ของทัวริงในปี 1936 เป็นพื้นฐานของคอมพิวเตอร์ และทัวริงก็มาถึงโดยทำตามผู้นำของโกเดล โดยเห็นว่าคำสั่งสามารถทำงานบนคำสั่งอื่นๆ ได้ แทนที่จะเป็นเพราะตัวเลขของโกเดลได้เข้ารหัสข้อความอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับตัวเลข
ในทศวรรษที่ 1950 นักคณิตศาสตร์มีแนวโน้มที่จะทำตัวห่างเหินจากการใช้งานจริง และโดยเฉพาะจากการคำนวณ ตั้งแต่ปี 1970 หน่วยงานเหล่านี้มีความเข้มงวดน้อยลง ข้อโต้แย้งของ Gödel ในตอนนี้มีความเชื่อมโยงอย่างสมบูรณ์ยิ่งขึ้นกับเนื้อหาทางคณิตศาสตร์และปัญหาคลาสสิกของ ‘วิธีการแก้ปัญหา’ ในปี 2000 Clay Mathematics Institute ในเมืองเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ ได้ประกาศรางวัลเจ็ดรางวัลสำหรับชุดโจทย์ปัญหาสหัสวรรษ หนึ่งในนั้น เกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณ มีรากฐานมาจากคำพูดของ Gödel ที่อาจดูเหมือนคลุมเครือในปี 1958 แต่ตอนนี้มีค่ามหาศาลสำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติ
ดังนั้นตอนนี้จึงดูแปลกเล็กน้อยที่ Nagel และ Newman ไม่สนใจการคำนวณ พวกเขาวางกรอบการสะท้อนปิดของพวกเขาราวกับว่าทฤษฎีความสามารถในการคำนวณของทัวริงเป็นผลสืบเนื่องที่ชัดเจน ตรงกันข้ามกับคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับข้อโต้แย้งทางเทคนิคของ Gödel พวกเขาพบว่าไม่มีปัญหาในการเขียนถึงความเป็นไปได้ของปัญญาประดิษฐ์ (AI) ในสองสามประโยค ปัจจุบันนี้เป็นสาขาปรัชญาทางวิทยาศาสตร์ที่ใหญ่โตและมีการโต้เถียงกันอย่างถึงพริกถึงขิง อันที่จริง เรื่องนี้กลายเป็นประเด็นโต้แย้งไปแล้วในปี 2501 ทัวริงเองในปี 2493 โต้แย้งว่าข้อพิสูจน์ของโกเดลไม่เกี่ยวข้องกับคำถามเรื่องการบรรลุปัญญาประดิษฐ์ ในทศวรรษที่ 1960 Gödel ได้แสดงความเห็นที่ค่อนข้างคลุ้มคลั่งคัดค้านปรัชญาของทัวริง ดูเหมือนว่าเขาจะพิจารณาแล้วว่าข้อพิสูจน์ของเขาบอกเป็นนัยว่าจิตใจของมนุษย์ไม่สามารถถูกควบคุมด้วยเครื่องจักรได้
ข้อโต้แย้งเหล่านี้กระตุ้นหนังสือที่มีชื่อเสียงอีกเล่มที่มีGödelในชื่อ Gödel, Escher, Bach (Penguin) ของ Douglas Hofstadter ในปี 1979 ถึงแม้ว่าในหลาย ๆ ด้านจะได้รับแรงบันดาลใจจากงานของ Newman และ Nagel แต่ก็ใช้แนวทางที่ตรงกันข้ามกับความคลาสสิคที่ถูกตัดออกไป ด้วยพื้นที่กว้างขวางและเป็นตัวอย่างที่ดี ยังได้ข้อสรุปเกี่ยวกับ AI ที่แตกต่างออกไป ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือของทัวริง ความขัดแย้งนี้ยังไม่ได้รับการแก้ไข อันที่จริงแล้ว โรเจอร์ เพนโรส ตัวเอกอีกคนหนึ่งได้เพิ่มความคิดให้สูงขึ้น ซึ่งสนับสนุนบางอย่างเช่นตำแหน่งของโกเดลแต่ในรูปแบบใหม่ทั้งหมด
ในคำพูดที่ตั้งครรภ์สองสามคำ Nagel และ Newman เรียกสมองว่าเป็นเครื่องจักรที่ทรงพลังกว่าผ่านความสามารถในการให้เหตุผลอย่างไม่เป็นทางการมากกว่าคอมพิวเตอร์ นับตั้งแต่ทศวรรษ 1980 เพนโรสได้ถามถึงสิ่งที่สามารถให้พลังดังกล่าวแก่มันได้ โดยพบคำตอบในปรากฏการณ์ที่ไม่เข้าใจกันของการลดสถานะทางควอนตัม-กลศาสตร์ ข้อสรุปของเขามีความขัดแย้งกันอย่างมาก ตัวอย่างเช่น มาร์ติน เดวิส นักตรรกวิทยาชั้นนำ ซึ่งเขาเองก็เป็นคนดัง ได้กดดันมุมมองดั้งเดิมของทัวริงอย่างแข็งขันในหนังสือEngines of Logic (WW Norton, 2001) ของเขา
Nagel และ Newman อุทิศหนังสือของพวกเขาให้กับ Russell ซึ่งงานเชิงตรรกะในช่วงปีแรกๆ ของศตวรรษที่ 20 อยู่เบื้องหลังการพิสูจน์ของ Gödel ในช่วงเวลาเดียวกันนั้น Planck และ Einstein เปิดประตูกลควอนตัมบนความเป็นจริง ร้อยปียังไม่เพียงพอที่จะแก้ไขคำถามพื้นฐานที่พวกเขาเปิดเผย คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์กายภาพอธิบายจักรวาลควอนตัมต่อเนื่องโดยใช้การดำเนินการอย่างเป็นทางการกับสัญลักษณ์ที่ไม่ต่อเนื่อง ควอนตัมหรือสัญลักษณ์เหล่านั้นหรือความเชื่อมโยงระหว่างกันยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างถ่องแท้
